Matemática - Aula 05 - 11/03 - Progressão Geométrica

Aviso: Trazer a lista de P.A. feita na próxima aula ( 18/03/2014)

Aula 05 - 11/03/2014

Progressão Geométrica - P.G

Qualquer termo em função do primeiro.
Existem 2 diferenças:

• soma PG Finita
• soma PG Infinita

Chamamos de progressão geométrica (PG) toda sequência numérica em que, a partir do 2º termo, o quociente entre um termo e seu antecessor é igual a uma constante, chamada de razão de progressão e unidade por q.

a₂/a₁ = q                 a₃/a₂ = q           a₄/a₃ = q    ...     a_n/a_n-1 = q

 Assim,

a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = ... = a_n/a_n-1 = q

Em uma PG (a₁, a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n-1 , a_n) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro.

a₂  = a₁ . q                                        * Lembrem-se disso, usaremos lá na frente

a₃ = a₂ . q = a₁  . q . q = a₁ . q²

a₄ = a₃ . q = a₁  . q² . q = a₁ . q³

a_n = a₁ . q^n-1                                   * Lembrem-se também dessa forma, usaremos lá na frente
sendo:

a_n = termo geral (não significa que é o último termo da equação)

a₁ = 1º termo

q = razão

n = posição do termo/quantidade de elementos

Com isso, conseguimos encontrar o termo de ordem n, determinado termo geral da PG

Soma dos termos de uma PG Finita

A equação que nos dá a soma dos n termos de uma PG Finita, sendo conhecidos o termo "a" e a razão de progressão "q" (desde que "q" seja diferente de 1, pois daí não seria razão, seria uma constante. Afinal 1ⁿ sempre será 1.):
S_n  = a₁ . (qⁿ- 1)
           q - 1
(temos aí outra razão para  q ser diferente de 1, já que isso deixaria o denominador como 0, indeterminando a equação)

Considerando a PG (a₁, a₂ , a₃ , a₄ , ... , a_n-1 , a_n) cuja razão é q
Representando a soma dos n termos dessa PG por S_n, temos:

S_n  = a₁+ a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n              equação (I)
 Multiplicando a equação (I) por q, tem-se q.S_n  = q.a₁+ q.a₂ + q.a₃ + q.a₄ , ... , q.a_n-1 + q.a_n
Agora, retomando aquela informação passada lá atrás ("a₂  = a₁ . q " ...):

q.S_n  = a₂+ a₃ + a₄ + a₅ + ... + a_n + a_n+1         equação (II)

Se pegarmos a diferença entre as duas equações, ou seja, fazendo (II)-(I), temos:

(q.S_n) - (S_n) = (a₂+ a₃ + a₄ + a₅ + ... + a_n + a_n+1) - (a₁+ a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n)
S_n (q - 1) = (a₂+ a₃ + a₄ + a₅ + ... + a_n + a_n+1) - (a₁+ a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n)
S_n (q - 1) = (a_n+1) - (a₁)
S_n (q - 1) = a_n+1- a₁
Retomando novamente  aquela informação (a_n+1 = a_n . q ). Assim,
S_n (q - 1) = a_n. q - a₁
Mas do termo geral a_n = a₁ . q^n-1

Substituindo o  a_n


S_n (q - 1) = (a₁ .q^n-1). q - a₁

S_n (q - 1) = (a₁ .q^n-1). q - a₁

Aplicando as regras de exponenciação em "q^n-1). q" teremos "q^n-1+1"

S_n (q - 1) = (a₁ .q^n-1+1) - a₁
S_n (q - 1) = (a₁ .qⁿ) - a₁
S_n (q - 1) = a₁ .qⁿ - a₁
S_n (q - 1) = a₁.(qⁿ - 1)
então,
S_n  = a₁ . (qⁿ- 1)
           q - 1