Matemática - Aula 04 - 25/02/2014

PA
Soma dos n primeiros termos de uma PA, sendo conhecidos o 1º termo e o termo an dessa progressão, é dada por:

Sn = (a1+an) . n             ou            (a1+an) . n/2 
                  2                                                   



Consideremos a PA finita de razão r (a1, a2, a3, ... , an-2, an-1, an) cuja soma de seus n termos pode ser escrita por:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Sabendo que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual a soma dos extremos, temos:
 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an 
        I       I      I             I       I        I
        I       I         a1+an            I        I
        I       I                             I        I
        I                 a1+an                      I 
        I                                               I
                          a1+an

Portanto, Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an)          nota-se que o termo (a1 + an) se repetirá por  n  vezes. Logo podemos transcrever:
                                                   2


Sn = (a1 + an) .  n 
                         2

Outra maneira de abordar a situação é somar a sequência com o seu inverso:


Sequência                  = a1 +  a2  +  a3  + ... + an-2 + an-1 + an
Inverso da sequência = an + an-1 + an-2 + ... +  a3  +  a2  + a1


                          (a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...+(an-2+a3)+(an-1+a2)+( an+a1)

 Lembrando que a soma dos elementos equidistantes equivalem a soma dos extremos, temos:

                              (a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+...+(a1+an)+(a1+an)+( a1+an)

                                                               (a1+an)n = 2Sn (afinal foram somadas 2 sequências)

                                                               (a1+an)n = Sn
                                                                     2

Importante:

• Considerando (... an-1, an , an+1, ...) três termos consecutivos de uma P.A., O termo central an é dado pela média aritmética dos outros dois termos, ou seja, an = (an-1 + an+1)/2
• Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos
• Interpolar meios aritméticos significa inserir termos entre os que já foram dados de tal forma que a sequência seja uma P.A. (ou seja, é só completar a sequência)

Após a aula teórica foram passados três exercícios para fazer em aula:

1. Interpolar 5 meios aritméticos na P.A. que contém 7 termos, sendo a1 = 4 e a7 = 250
2. Na P.A. (..., x+5, 3x-4, -3,...) determine o valor de x e escreva seus termos
3. Calcular a soma dos 80 primeiros termos da P.A. em que a1 = -10 e r = 3